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• 21/06/2004 13:38:00.
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Examenes de matemáticas
¿Alguien tiene examenes de otras oposiciones de matemáticas? Si alguien me hace el favor de mandarme alguno, ahi tiene mi direccion de correo.
Gracias por adelnatado y suerte
4 RESPUESTAS AL MENSAJE
RE:Examenes de matemáticas
Mi direccion es
bego_omatos@hotmail.com
RE:Examenes de matemáticas
Si estás interesado(a) en examenes del 2004 o anteriores contacta con:
José:987262593
RE:Examenes de matemáticas
Te pongo el de Madrid
Proceso selectivo para el ingreso o acceso al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria.
Primera Prueba – Parte A
Ejercicio 1.- Siendo r y s dos números reales dados y distintos, llamaremos “derivada generalizada (r,s)” de la función f (x) es derivable en el punto a, al siguiente límite.
a) Demuéstrese que si la función f (x) es derivable en el punto a, existe y coincide con .
En efecto, basta observar que
b) Obtenga y en el caso de que sea la función , donde es la parte entera de x (máximo entero no superior a x). Compare e interprete los resultados.
Ahora bien, observemos que para cualquier , tomando suficientemente pequeño obtenemos que , por lo tanto, para cualquier . En cambio, sabemos que es derivable si y sólo si , en cuyo caso es y por tanto es derivable si y sólo si , en cuyo caso es
c) Obtenga y en el caso de que sea la función valor absoluto . Compare e interprete los resultados.
Ahora bien, si , tomando suficientemente pequeño tendremos que , con lo que . De manera análoga, si se obtiene . Finalmente, si tenemos .
Por otro lado, sabemos que es derivable si y sólo si , en cuyo caso es
d) 1) Calcule en el caso de la función
2) ¿Está definida en este caso?
Obviamente no, por no estar definido
3) ¿Existe ?
Consideremos la sucesión , que converge a 0, pero con no convergente, por tanto no existe
4) ¿Existe la derivada ?
Puesto que f no está definida en 0 y es imposible definirla en 0 de modo que sea continua, no puede existir
Ejercicio 2.- Una especie de lotería consiste en elegir 6 números enteros positivos de entre los 49 primeros. Los 6 que he escogido tienen la propiedad de que la suma de sus logaritmos decimales resulta ser un número entero. En el supuesto de que el boleto premiado cumpla esa propiedad, a saber, “la suma de los logaritmos decimales de los 6 números de los que consta es un número entero”, calcule la probabilidad de que el boleto ganador sea el mio.
Que la suma de los logaritmos decimales de los 6 números resulte un entero es lo mismo que decir que su producto es una potencia de 10. En particular, los posibles factores primos de estos números son únicamente 2 y 5, es decir, los posibles números son:
1 – 2 – 22 – 23 – 24 – 25 – 5 – 2·5 – 22·5 – 23·5 - 52
De entre ellos debemos ver de cuantas maneras es posible seleccionar 6 de modo que el producto sea una potencia de 10 es decir, de modo que el producto sea 2k5k.
Observemos en primer lugar que al multiplicar 6 de estos números, la mayor potencia de 5 posible es 6 (tomando 5 – 2·5 – 22·5 – 23·5 - 52 y otro número más) y que en este caso la única posibilidad para que el producto sea potencia de 10 es que es otro número sea 1.
Por otro lado, al multiplicar 6 de estos números, la menor potencia posible de 2 es 4 (tomando 1 - 5 - 52 – 2 – 5·2 y bien 22 bien 22·5) y que sólo una de estas posibilidades nos da al multiplicar una potencia de 10.
Por último, cabe la posibilidad de que el producto sea 25·55, para ello debemos tomar 52 y tres de los 4 números 5 – 2·5 – 22·5 – 23·5, distinguiendo cual es que no tomamos vemos que sólo hay dos posibilidades para que el producto sea 25·55.
Resumiendo, existen sólo 4 6-uplas posibles de números cuyo producto sea potencia de 10, por tanto la probabilidad pedida es 1/4.
Ejercicio 3.- En la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas, elegimos los puntos A, B, C y D de forma que AC y BD sean perpendiculares y se corten en el punto P= . Determine el máximo valor posible del área del cuadrilátero ABCD.
Descomponiendo el cuadrilátero en los 4 triángulos rectángulos APB, APD, CPB y CPD obtenemos que el área de ABCD es .
Puesto que las rectas AC y BD no pueden ser ambas verticales, podemos suponer sin perdida de generalidad que la recta AC viene dada por la ecuación
siendo los puntos A y C la intersección de esta recta con la circunferencia de ecuación
es decir, si y , tenemos que son las raíces de
con lo que
Análogamente, la recta BD viene dada por
y .
Por tanto buscamos maximizar la función . Sin más que derivar y simplificar observamos que si y sólo si , alcanzándose el máximo para , siendo este máximo igual a 1.
Primera Prueba – Parte B
Ejercicio 1.- Se divide un diámetro AB de un círculo de radio en n partes iguales. Se consideran los arcos de las circunferencias de centro A que pasan por los puntos de división y son interiores al círculo. Calcule el límite, cuando n tiende a , de la media aritmética de las longitudes de dichos arcos.
Es horrible de resolver, fácil, pero muchas cuentas, sale una suma de Riemann y una integral muy pesada.
Ejercicio 2.- Justifique si existe alguna función f derivable en todo con y con
Integrando la segunda desigualdad entre 0 y se llega a contradicción con la primera.
Ejercicio 3.- Obtenga los valores de p y q para que las ecuaciones
tengan dos raíces comunes.
Se puede hacer de muchas maneras usando Cardano-Vieta, una forma muy elegante sin utilizar estas fórmulas es como sigue.
Restando, las raíces comunes son precisamente las dos raíces del polinomio . Por otro lado, multiplicando el primer polinomio por 2 y el segundo por 3 y sumando, las raíces comunes son también las raíces de . Igualando coeficientes queda un sistema en p y q.
RE:Examenes de matemáticas
http://groups.msn.com/200489/paneldemensaje.msnw?all_topics=1
Seguro que tienes mucho que decir, te estamos esperando.
